sinh ⁡ ( − x ) = − sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!} cosh ⁡ ( − x ) = cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}

Từ đó:

tanh ⁡ ( − x ) = − tanh ⁡ x {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!} coth ⁡ ( − x ) = − coth ⁡ x {\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!} sech ⁡ ( − x ) = sech x {\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!} csch ⁡ ( − x ) = − csch x {\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.

arsech x = arcosh ⁡ 1 x {\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}} arcsch x = arsinh ⁡ 1 x {\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}} arcoth x = artanh ⁡ 1 x {\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}}

Sin hyperbol và cos hyperbol thỏa mãn đẳng thức

cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}

tương tự như công thức lượng giác Pythagore: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1. {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!} . Do vậy ta cũng có:

tanh 2 ⁡ x = 1 − sech 2 ⁡ x {\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x} coth 2 ⁡ x = 1 + csch 2 ⁡ x {\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}

Tang hyperbol là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến[4]:

1 2 f ″ = f 3 − f ; f ( 0 ) = f ′ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:[5]

dien tich = ∫ a b cosh ⁡ x   d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh ⁡ x ) 2   d x = do dai cung . {\displaystyle {\text{dien tich}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{do dai cung}}.}

Cộng các đối số

sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + cosh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + sinh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) tanh ⁡ ( x + y ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}

đặc biệt

cosh ⁡ ( 2 x ) = sinh 2 ⁡ x + cosh 2 ⁡ x = 2 sinh 2 ⁡ x + 1 = 2 cosh 2 ⁡ x − 1 sinh ⁡ ( 2 x ) = 2 sinh ⁡ x cosh ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}

Và:

sinh ⁡ x + sinh ⁡ y = 2 sinh ⁡ x + y 2 cosh ⁡ x − y 2 cosh ⁡ x + cosh ⁡ y = 2 cosh ⁡ x + y 2 cosh ⁡ x − y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}

Công thức trừ

sinh ⁡ ( x − y ) = sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) − cosh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) cosh ⁡ ( x − y ) = cosh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) − sinh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh(x)\cosh(y)-\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x-y)&=\cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}

Và:

sinh ⁡ x − sinh ⁡ y = 2 cosh ⁡ x + y 2 sinh ⁡ x − y 2 cosh ⁡ x − cosh ⁡ y = 2 sinh ⁡ x + y 2 sinh ⁡ x − y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\\\end{aligned}}}

Nguồn tham khảo.[6]

Công thức tính một nửa đối số

sinh ⁡ ( x 2 ) = sinh ⁡ ( x ) 2 ( cosh ⁡ ( x ) + 1 ) = sgn ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( x ) − 1 2 {\displaystyle \sinh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh(x)+1)}}}=\operatorname {sgn}(x)\,{\sqrt {\frac {\cosh(x)-1}{2}}}}

với sgn là hàm dấu.

cosh ⁡ ( x 2 ) = cosh ⁡ ( x ) + 1 2 {\displaystyle \cosh \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {\cosh(x)+1}{2}}}} tanh ⁡ ( x 2 ) = sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( x ) + 1 = sgn ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( x ) − 1 cosh ⁡ ( x ) + 1 = e x − 1 e x + 1 {\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)+1}}=\operatorname {sgn}(x)\,{\sqrt {\frac {\cosh(x)-1}{\cosh(x)+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}

Nếu x ≠ 0, thì

tanh ⁡ ( x 2 ) = cosh ⁡ ( x ) − 1 sinh ⁡ ( x ) = coth ⁡ ( x ) − csch ⁡ ( x ) {\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{\sinh(x)}}=\coth(x)-\operatorname {csch} (x)} [7]